POR: ALDO DI STILIO
INTRODUCCIÓN
Escribo estas líneas sobre Geometría proyectiva y Antroposofía tratando de transmitir mi vivencia del tema sin pretender rigurosidad científica en su desarrollo y con la intención de expresar conceptos claros en la forma más amena posible, con anexos para quienes se interesen en ampliar alguno de los puntos tratados.
La Geometría fue parte de la sabiduría guardada en las Escuelas de Misterios Antiguos, cuya época termina con la llegada del Cristo. Desde entonces se fue perdiendo la sabiduría de esos Misterios Antiguos y la Geometría se volvió abstracta. Por otro lado, con la llegada del Cristo comienza la época de los Misterios Modernos, y en este tiempo que nos toca vivir estamos comenzando a observar las ideas de la Geometría a la luz de la ciencia espiritual contemporánea. La Antroposofía nos da esa posibilidad.
1. EUCLIDES CORRE EL VELO
Hasta Euclides (aproximadamente 300 a.C.) la Geometría era una materia usada en las Escuelas de Misterios para la preparación de los futuros iniciados. Euclides tomó sus contenidos fundamentales, hasta entonces esotéricos, y los publicó en 13 libros (Elementos), convirtiéndolos en exotéricos. “Es el primer libro de fundamentación geométrica, y su estilo y ordenación fueron los moldes a los que se ajustaron todas las obras posteriores de matemática” (1).
La publicación de estos fundamentos, mantenidos secretos hasta ese momento, pudo ser el indicio de que los Misterios Antiguos estaban llegando a su fin, ya que con la llegada del Cristo 300 años después comenzaría la época de los Misterios Modernos.
2. LO ESOTÉRICO SE CONTRAE A SEMILLA-ENIGMA: EL POSTULADO DE LAS PARALELAS
Euclides, en su obra, se basó en algunas definiciones. Por ejemplo: “paralelas son rectas de un mismo plano que no se encuentran al prolongarlas indefinidamente en ambas direcciones”. Y fundamentalmente se basó en cinco postulados, cuyos primeros cuatro resultan aceptables para nuestra intuición geométrica; no así el quinto, conocido como el Postulado de las Paralelas, que los matemáticos creyeron que lo podrían probar, tratando de hacerlo sin éxito por más de 2.000 años. Una versión de este postulado, cómoda para el presente trabajo, es la siguiente: “Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta.”
Lo que este postulado significó para los matemáticos hasta el siglo xix queda bien expresado en lo que Wolfang Bolyai (1775-1856) escribía a su hijo Johann, uno de los creadores de la geometría no euclidiana: “Te ruego que no intentes tú también luchar con la teoría de las líneas paralelas. Perderías el tiempo y sus teoremas quedarían sin demostrar. Estas impenetrables tinieblas pueden derribar a miles de torres como Newton. Nunca se aclararán en la Tierra, y el desdichado género humano nunca poseerá en el mundo nada completo, ni aún en la geometría. Esto constituye una grande y eterna herida en mi alma” (1).
Podemos sugerir la idea de que el Postulado de las Paralelas es algo así como una semilla-enigma, que al germinar y desarrollarse nos dará la oportunidad de reencontrar conscientemente a una Geometría ligada a lo espiritual, a los Misterios Modernos.
3. LA SEMILLA-ENIGMA GERMINA: LA PERSPECTIVA
En el Renacimiento, ante un cambio evidente en la conciencia del ser humano, los pintores se dieron cuenta que, por ejemplo, parados frente a dos largas hileras de árboles, las veían como aproximándose a la distancia, y comenzaron a dibujar las paralelas concurrentes en un punto del horizonte, el “punto de fuga”.
Figura 1.
¿Qué parte de la “realidad” representa el “punto de fuga”? El infinito, la periferia, lo inalcanzable.
Esta idea surgida del arte fue tomada por los matemáticos que desarrollaron la teoría de la perspectiva, estudiando desde la geometría la forma visual de percibir.
4. LA GERMINACIÓN SE CONVIERTE EN PLANTA: LA GEOMETRÍA PROYECTIVA
EL “PUNTO LÍMITE”
En el año 1868 el matemático Beltrame probó que era imposible demostrar el Postulado de las Paralelas, que decía que por un punto A exterior a una recta r se puede trazar una y sólo una paralela a r.
Figura 2.
Por otro lado, la definición “paralelas son rectas de un mismo plano que no se encuentran al prolongarlas indefinidamente en ambas direcciones”, contradice que las paralelas se junten en el “punto de fuga”.
¡Claro que esto es sólo nuestra forma visual de percibir! Pero si, según la Figura 3, imaginamos dos rectas p y r de un mismo plano que se cortan en un punto P, y vamos rotando una de ellas sobre un punto (la recta p sobre el punto A), el punto P de intersección se aleja hacia el infinito; alcanzado un “punto límite” por la derecha y superada la posición en que ambas rectas son paralelas, el punto P de intersección reaparece desde la izquierda. Dada la infinitud de las rectas, parece tratarse de un proceso continuo, sin el “salto” que separa ambas rectas al volverse paralelas.
Figura 3.
Esta es mi conclusión después de imaginar una y otra vez este planteo dinámico. Los matemáticos decidieron lo que Louis Locher-Ernst (2) plantea escuetamente así: “Lo que sea que estas paralelas tengan en común, sugerido por la expresión ‘misma dirección’, nosotros lo tomamos como un nuevo elemento común y lo llamamos ‘punto límite’. Cada recta posee uno y sólo uno de tales puntos límites”.
Notemos que aquí ocurren dos cosas: las paralelas tienen un “punto límite” en común, y además toda recta tiene un único “punto límite” (relacionemos con el planteo dinámico de la Figura 3).
CONSECUENCIAS: RECTAS CERRADAS
Como la recta tiene un solo “punto límite” (el mismo hacia cada extremo), al “caminar” en la Figura 4 desde el punto B hacia la derecha, pasamos por el ‘punto límite’ retornando a A desde la izquierda. Es decir que al segmento AB lo podemos “caminar por afuera” (B– “punto límite”-A), o “por adentro” (A–B).
Figura 4.
La recta resulta ser cerrada.
Esto en lo formal-matemático, queda lo que cada uno pueda meditar sobre el tema, comparándolo por ejemplo con lo que vivimos con nuestra conciencia de vigilia entre el despertar (A) y el dormirnos (B), y nuestra conciencia durante el dormir, entre el dormirnos (B) y el despertarnos (A), pasando por el “punto límite”).
NACE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA
Al incorporar el “punto límite” nace la Geometría proyectiva en el plano, basada en los dos enunciados:
• Dos puntos definen una recta.
• Todo par de rectas se cortan en un punto.
En el caso en que las dos rectas sean paralelas el punto de corte o encuentro es el “punto límite” (estas rectas con un mismo “punto límite” son rectas isomorfas con las paralelas euclidianas).
Algo para tener en cuenta es que el Postulado de las Paralelas de Euclides está implícito en estos dos enunciados, ya que dada una recta y un punto exterior a ella: a. dicho punto y el “punto límite” de la recta dada, definen una recta; b. ambas rectas tienen ese “punto límite” en común. (Lectura optativa: Anexo 1)
5. LA PLANTA FLORECE: EL PRINCIPIO DE POLARIDAD
Démosle la siguiente forma a los dos enunciados base de la Geometría proyectiva en el plano:
• Dos puntos definen una recta.
• Dos rectas definen un punto.
Resultan ser dos enunciados simétricos: basta intercambiar entre sí las palabras recta y punto en uno de ellos para obtener el otro. Aquello que resultaba asimétrico en Euclides por la excepción del caso de dos rectas paralelas que no definen un punto, se vuelve ahora simétrico. El resultado final es que en todo enunciado de Geometría proyectiva en el plano, cambiando todas las palabras “recta” por la palabra “punto” y viceversa, todas las palabras “punto” por la palabra “recta”, obtenemos su enunciado polar, que sigue siendo válido.
Esto caracteriza la Geometría proyectiva en el plano: punto y recta son polares entre sí.
(Lectura optativa: Anexo 2)
LA GEOMETRÍA PROYECTIVA EN EL ESPACIO
En lo anterior traté de explicar cómo se llega a la Geometría proyectiva en el plano. Veamos ahora qué ocurre si de las dos dimensiones del plano pasamos a las tres del espacio.
En el espacio, además del punto y la recta, tenemos el plano como un tercer elemento geométrico. Y el plano tiene un problema semejante al de las rectas paralelas, que nos llevan al siguiente planteo.
LA RECTA LÍMITE
Dos planos que se cruzan definen una recta, salvo que sean paralelos, caso similar al de las rectas paralelas. El planteo de Louis Locher-Ernst [2] para planos paralelos es el siguiente: “Lo que sea que un conjunto de planos paralelos tengan en común, […] nosotros lo asimilamos al concepto recta límite de ese plano. […] Cada plano posee una y sólo una recta límite, […] que tiene en común con todos los planos paralelos a él.” Notemos que aquí ocurren dos cosas: los planos paralelos tienen una “recta límite” en común y todo plano tiene una única “recta límite”. (Lectura optativa: Anexo 3)
CONSECUENCIA: LOS PLANOS SON CERRADOS
Ya que cada plano posee una y sólo una recta límite, resulta que cada plano se cierra sobre sí mismo en el infinito a través de su “recta límite”.
LA POLARIDAD EN EL ESPACIO
Así como el “punto límite” introdujo la polaridad para todo enunciado de la Geometría del plano, la “recta límite” hizo lo mismo en la Geometría del espacio. Por ejemplo:
- Tres puntos que no tengan una recta en común definen un plano.
- Tres planos que no tengan una recta en común definen un punto.
Son dos enunciados simétricos: basta intercambiar entre sí las palabras punto y plano en uno de ellos para obtener el otro. Esto ocurre para cualquier enunciado de la Geometría proyectiva en el espacio, para la que: punto y plano son polares entre sí, en tanto que la recta es autopolar. (Lectura optativa: Anexo 4)
6. EL FRUTO DE LA PLANTA: LA DOBLE ESTRUCTURA DEL ESPACIO
Que cada uno de los enunciados de la Geometría proyectiva tenga su enunciado polar, le da al espacio de esta geometría una doble estructura.
Si imaginamos un espacio tridimensional con una estructura de puntos, habrá un espacio polar al anterior con una estructura de planos, cada uno de ellos polar a un punto. Cada forma de uno de los espacios tendrá su forma polar en su espacio polar o contraespacio. Por ejemplo, considerando el tetraedro de la Figura 5 como formado por cuatro planos, tiene en el contraespacio una figura polar formada por cuatro puntos. Si tomo el punto central de cada cara como el polar de dicha cara se conforma el tetraedro dibujado en linea punteada, que es la figura polar al tetraedro original, con lo que el tetraedro resulta ser una figura autopolar.
Figura 5.
En cambio la figura polar a un cubo es un octaedro, que lo puedo dibujar de la misma manera, como lo muestra la Figura 6.
Figura 6.
7. ANTROPOSOFÍA Y GEOMETRÍA PROYECTIVA
Antroposofía significa conocimiento del hombre en su aspecto integral: cuerpo, alma y espíritu. Además de considerar al hombre con esta conformación ternaria, la Antroposofía considera la naturaleza humana íntimamente ligada a la naturaleza cósmica. Por eso conocerse a sí mismo es conocer al Mundo y conocer al Mundo es conocerse a sí mismo.
En este momento de la evolución humana, en nuestra época, aceptamos la obvia existencia de nuestro cuerpo (aunque no conocemos su verdadera naturaleza), aceptamos de algún modo la existencia de nuestra alma a través del reconocimiento de nuestra psique, pero no todos los seres humanos aceptamos la existencia de nuestra esencia espiritual. Y percibir al espíritu con la conciencia despierta significa adquirir el conocimiento profundo del Mundo y de nosotros mismos.
Para la Antroposofía, el hombre habita no sólo el mundo físico sino también mundos espirituales. Estando despiertos somos concientes en el mundo físico, cuando dormimos nuestra conciencia se desconecta del mundo físico y se despierta en los mundos espirituales. Además, al morir nuestra individualidad trasciende la muerte física viviendo en los mundos espirituales, para volver a reencarnar después de cierto intervalo de tiempo.
Desde esta cosmovisión vayamos ahora al encuentro de lo que hemos desarrollado hasta aquí.
La geometría anterior a Euclides estaba ligada a los Antiguos Misterios. Euclides la hace pública y a partir de entonces se vuelve un conocimiento abstracto, que sin embargo lleva en sus fundamentos lo que llamamos la semilla-enigma de las paralelas, que mantiene latente su carácter esotérico. Según vimos, esa semilla-enigma germinó en el Renacimiento de la mano del arte y se desarrolló luego con los trabajos de los matemáticos, que culminaron en el siglo xix con el nacimiento de la Geometría proyectiva. Sin embargo la nueva geometría surgida de esa germinación sigue manteniendo, a los ojos del hombre contemporáneo, su carácter abstracto.
En relación a esto podemos citar un comentario del matemático argentino Luis Santaló (1) referido a un matemático, físico y filósofo francés: “Henri Poincaré ha rechazado la posibilidad de decidir, por medio de la experiencia, cuál es la ‘verdadera’ geometría. Más aún, sostiene que el problema en sí carece de sentido, ya que una geometría no es más o menos verdadera sino más o menos cómoda para ser aplicada a un cierto ‘mundo’. Para el nuestro, este carácter es poseído por la Geometría Euclidiana.” Desde la cosmovisión antroposófica, la Geometría euclidiana es la geometría del mundo físico, en tanto la Geometría proyectiva abarca tanto el espacio del mundo físico como su contraespacio, el del mundo etéreo, desde donde provienen las “fuerzas de levedad” asociadas a la vida, al brotar y crecer, al reproducirse. Es decir, la Geometría proyectiva es la geometría de una realidad cósmica más amplia que la euclidiana; es la geometría de dos mundos. Las “fuerzas de levedad” son las que permiten el crecimiento de una planta desafiando la ley de gravedad. La planta toma sustancias físicas y las va elevando, separándolas del suelo, contrarrestando la atracción de la Tierra.
Esto muestra una polaridad evidente gravedad-levedad que en la Geometría proyectiva se relaciona con la polaridad punto-plano. Una semilla en el “espacio físico” terrestre es un punto en el Universo, que bajo ciertas condiciones ambientales se sensibiliza a las fuerzas cósmicas incidentes desde diferentes direcciones del “espacio etéreo” o contraespacio, produciendo la germinación y desarrollo posterior de la planta. Cada especie vegetal responde a determinadas influencias cósmicas que se expresan en la conformación de su follaje, de sus flores y de sus frutos.
En un curso sobre las Ciencias naturales (3), Rudolf Steiner explicó cómo fuerzas cósmicas forman el hígado etéreo que permite materializar el hígado físico, y cómo con la mirada suprasensible se puede percibir la confluencia de corrientes cósmicas desde diferentes direcciones, que al interpenetrarse forman el hígado etéreo. Así las fuerzas etéricas, actuando desde diferentes direcciones de la periferia, inciden con diferentes planos en zonas puntuales de la Tierra, creando múltiples formas dotadas de vida. Este proceso se rige por el Principio de Polaridad que caracteriza a la Geometría proyectiva.
Y como aquella Geometría que proporcionaba entrenamiento espiritual a los hombres de las Escuelas de Misterio en la antigüedad, su hija, la moderna Geometría proyectiva, brinda una posibilidad concreta de entrenamiento espiritual al hombre contemporáneo.
ANEXO 1: UN NUEVO CONCEPTO DE TRIÁNGULO
LOS 4 TRIÁNGULOS DEL PLANO
Para el recorrido perimetral del triángulo de la Figura 7 partimos desde uno de sus vértices, por ejemplo el A, “caminamos” hacia B, desde allí al vértice C, para luego recorrer el último lado desde el vértice C al A.
Figura 7.
Pero, según explicamos antes en la Figura 4, el segmento AB lo podemos “caminar por afuera”: desde B “caminamos hacia arriba” según indica la flecha en la Figura 8, hacia el punto límite y “regresamos desde abajo” hacia A. Desde A “caminamos por adentro” hasta el vértice C, para luego recorrer el último tramo “por afuera” desde C hasta B en el sentido de las flechas.
Figura 8.
Hemos recorrido un “triángulo” que se cierra a través del punto límite por dos de sus lados. Es una extensión del concepto de triángulo.
Combinando los lados de forma distinta podemos dibujar los otros dos triángulos de las Figuras 9 y 10.
Figura 9.
Figura 10.
METAMORFOSIS DEL TRIÁNGULO
Imaginemos al triángulo de la Figura 11 en el que la recta AB gira alrededor de A, y la recta CB gira alrededor de C, desplazando B “hacia arriba” hasta que los dos lados que se unen en este vértice se vuelvan paralelos (Figura 12); y que luego continúe el movimiento, con lo que el vértice móvil B aparecerá “por abajo” (Figura 13).
Figura 11.
Figura 12.
Figura 13.
Se trata de una “metamorfosis del triángulo”. Para la Geometría proyectiva, la Figura 12 también es un triángulo cuyos lados paralelos AB y BC se unen en el vértice B, “punto límite” de ambas rectas; así como lo es la Figura 13, con dos lados AB y BC que se unen por sus puntos límites. Ejercicio “imaginativo”: Tratar de representarse mentalmente cada uno de los cuatro casos anteriores, comenzando por la primera figura, con una sección coloreada, e imaginando el movimiento de los dos lados móviles y la forma que va adoptando la sección coloreada.
ANEXO 2: POLARIDAD PUNTO-RECTA EN EL PLANO
Al incorporar el “punto límite” se originó la simetría de los enunciados: “dos puntos definen una recta” y “dos rectas definen un punto”. Podemos generalizar como sigue:
Figura 14.
En esta generalización anterior, válida para cualquier número de rectas (o de puntos), notamos que todo lo que ocurre con las rectas respecto de los puntos (columna de la izquierda), ocurre con los puntos respecto de las rectas (columna de la derecha). Es decir, cada afirmación de una de las dos columnas se transforma en una afirmación de la otra columna con sólo cambiar la palabra “punto” por la palabra “recta” y, viceversa, la palabra “recta” por la palabra “punto”. Esto confirma que punto y recta son polares en el plano.
Esta polaridad punto-recta de la Geometría proyectiva en el plano puede probarse rigurosamente y ello significa que cada enunciado tiene su enunciado dual o polar. De ello resulta que cualquier figura geométrica del plano tiene su figura polar, ya que a cada punto le podemos asignar una recta y viceversa. Por ejemplo si tenemos una figura formada por tres rectas (un trilátero), su figura polar será una figura formada por tres puntos (un trivértice).
Figura 15.
ANEXO 3: LA RECTA LÍMITE
George Adams (4) plantea el tema de los planos paralelos imaginando un plano y un punto por encima del plano, por el que pasa un segundo plano móvil: “Mientras más pequeño es el ángulo de inclinación entre los planos, más se aleja la línea de intersección de ambos planos. […] En cuanto se llega a la posición paralela, aparentemente desaparece la línea; pero en el siguiente instante, puede aparecer nuevamente en el lado opuesto del espacio, cuando se rebasa por un mínimo la posición paralela. […] Finalmente, se descubre que la línea común de los dos planos está presente cuando ellos se hallan en posición paralela, sólo que se encuentra ‘infinitamente lejana’; aún allí continúa siendo una línea recta. […] Planos paralelos tienen la misma línea infinitamente distante en común. […] Ahora bien, se podrá afirmar sin excepción: dos planos cualesquiera en el espacio, tienen siempre una línea recta en común.”
Respecto del mismo tema ya vimos el planteo de Louis Locher-Ernst (2).
ANEXO 4: FORMAS BÁSICAS. POLARIDAD EN EL ESPACIO
FORMAS BÁSICAS
Louis Locher-Ernst [2] plantea la Geometría proyectiva a partir de enunciados que establecen relaciones mutuas entre los tres elementos básicos del espacio: punto, recta y plano.
Siguiendo su criterio, escribo ocho relaciones de mutua pertenencia entre punto, recta y plano, que él llama “fenómenos arquetípicos de incidencia mutua”, y represento gráficamente las siete formas básicas que les corresponden:
- A cada plano pertenecen infinitos puntos: el plano se conforma como “plano de puntos” (también llamado “campo de puntos”).
- A cada punto pertenecen infinitos planos: el punto se conforma como “punto de planos” (también llamado “haz de planos”).
- A cada plano pertenecen infinitas rectas: el plano se conforma como “plano de rectas” (también llamado “campo de rectas”).
- A cada punto pertenecen infinitas rectas: el punto se conforma como “punto de rectas” (también llamado ‘haz de rectas’).
- A cada recta pertenecen infinitos puntos: la recta se conforma como “recta de puntos”.
- A cada recta pertenecen infinitos planos: la recta se conforma como “recta de planos”.
- y 8. Si un punto y un plano se pertenecen mutuamente, hay infinitas rectas pertenecientes a ambos, según estas dos posibilidades:
- A cada plano pertenecen infinitas rectas que tienen un punto en común: “plano de rectas con un punto común”.
- A cada punto pertenecen infinitas rectas que tienen un plano en común: “punto de rectas con un plano común”.
POLARIDAD EN EL ESPACIO
En la descripción de las relaciones de mutua pertenencia entre punto, recta y plano, basta reemplazar en los enunciados 1, 3, 5 y 7 la palabra “plano” por la palabra “punto” y viceversa para obtener los enunciados 2, 4, 6 y 8 respectivamente.
¿Qué significa esto? Que en el “espacio proyectivo” (espacio euclidiano más los elementos límites), donde se cumplen los enunciados anteriores, para cada enunciado existe un enunciado polar, basado en la polaridad punto-plano.
Y, por supuesto, la polaridad entre los enunciados implica la polaridad entre las formas básicas correspondientes, según el siguiente detalle:
•“Plano de puntos”-“punto de planos”;
•“Plano de rectas”-“punto de rectas”;
•“Recta de puntos”-“recta de planos”;
•“Plano de rectas con un punto común”-“punto de rectas con un plano común” (autopolar).
REFERENCIAS
1. Santaló, L. Geometrías no Euclidianas. Eudeba, Cuadernillo 45.
2. Locher-Ernst, Louis. Space and Counterspace.
3. Steiner, Rudolf. Curso sobre las Ciencias Naturales. VI Conferencia (23/12/1919).
4. Adams, George. El Espacio Etéreo – Geometría Moderna, Editorial Antroposófica.
Sobre el autor
Aldo Di Stilio es argentino, nacido en Salto (Buenos Aires). Ingeniero electromecánico egresado de la Universidad Nacional de Buenos Aires; miembro activo en la administración y coordinador de grupos de estudio y ejercitación de la Sociedad Antroposófica en la Argentina; autor de Geometría Orgánica. Apuntes de Geometría Proyectiva. Correo electrónico: adistilio@hotmail.com.
Las opiniones expresadas son de exclusiva responsabilidad de los autores y no reflejan necesariamente el punto de vista de Revista Numinous.